Question

3．已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=${a}_{n}^{2}$+n-4
（1）求证{a_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，求出a₁=3，当n≥2时，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，2S_n=a²_n+n-4，两式相减得（a_n-1）²=a²_n-1，由此利用数列{a_n}的各项均为正数得到a_n-a_n-1=1，从而能证明{a_n}为等差数列．
（2）由{a_n}为等差数列，且a₁=3，d=1，能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：当n=1时，有2a₁=a+1-4，即a²₁-2a₁-3=0，
解得a₁=3（a₁=-1舍去）
当n≥2时，有2S_n-1=a²_n-1+n-5，
又2S_n=a²_n+n-4，
两式相减得2a_n=a²_n-a²_n-1+1，
即a²_n-2a_n+1=a²_n-1，
也即（a_n-1）²=a²_n-1，
因此a_n-1=a_n-1或a_n-1=-a_n-1
若a_n-1=-a_n-1，则a_n+a_n-1=1，而a₁=3，
所以a₂=-2，这与数列{a_n}的各项均为正数相矛盾，
所以a_n-1=a_n-1，即a_n-a_n-1=1，
因此{a_n}为等差数列．
（2）解：由（1）知{a_n}为等差数列，且a₁=3，d=1，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=3+（n-1）=n+2，
即a_n=n+2．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意迭代法、分类讨论思想和等差数列的性质的合理运用．