Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+n}}$，（其中m、n为参数）
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）如果f（x）是奇函数，求实数m、n的值；
（3）已知m＞0，n＞0，在（2）的条件下，求不等式$f（f（x））+f（\frac{1}{4}）＜0$的解集．

Answer 1

分析 （1）当m=n=1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）如果f（x）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m、n的值；
（3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+1}}$，
∴$f（1）=\frac{-2+1}{{{2^2}+1}}=-\frac{1}{5}$，$f（-1）=\frac{{-\frac{1}{2}+1}}{2}=\frac{1}{4}$，
∵f（-1）≠-f（1），∴f（x）不是奇函数；                       …（4分）
（2）∵f（x）是奇函数时∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{{-{2^{-x}}+m}}{{{2^{-x+1}}+n}}=-\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+n}}$对定义域内任意实数x成立．
化简整理得关于x的恒等式（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}2m-n=0\\ 2mn-4=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=-2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=2\end{array}\right.$．                           …10分
（注：少一解扣2分）
（3）由题意得m=1，n=2，
∴$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}=\frac{1}{2}（-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}）$，易判断f（x）在R上递减，
∵$f（f（x））+f（\frac{1}{4}）＜0$，
∴$f（f（x））＜-f（\frac{1}{4}）=f（-\frac{1}{4}）$，
∴$f（x）＞-\frac{1}{4}$，
∴2^x＜3，
∴x＜log₂3，
即f（x）＞0的解集为（-∞，log₂3）…（16分）

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断和应用以及不等式的求解，根据定义法是解决本题的关键．