Question

15．已知函数f（x）=sinx-cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最小正周期和最大值．
（2）若f（x）=2f′（x），求$\frac{1}{{sin2x+{{cos}^2}x}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据三角函数的倍角公式，和差公式，化简得到F（x）=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），即可求出最小正周期和最大值；
（2）由题意化简得到tanx=-3，化简$\frac{1}{{sin2x+{{cos}^2}x}}$=$\frac{ta{n}^{2}x+1}{2tanx+1}$，再带值就计算．

解答 解：（1）f′（x）=cosx+sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）=（sinx-cosx）（cosx+sinx）+（sinx-cosx）²，
=（sin²x-cos²x）+（1-2sinxcosx），
=1-cos2x-sin2x，
=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数F（x）最小正周期为π，最大值1+$\sqrt{2}$；
（2）∵f（x）=2f′（x），
∴sinx-cosx=2（cosx+sinx），
得到sinx+3cosx=0，
即tanx=-3，
∴$\frac{1}{{sin2x+{{cos}^2}x}}$=$\frac{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}{2sinxcosx+co{s}^{2}x}$=$\frac{ta{n}^{2}x+1}{2tanx+1}$=-2．

点评 本题考查二类导数的运算法则，和三角函数的和差公式，倍角公式，属于中档题．