Question

7．已知非常数数列{a_n}的前项n和为S_n，且有a_n＞0，${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}^2+4n-1）$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$，求数列{b_n}的前项n和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推式可得a_n+a_n-1=2或a_n-a_n-1=2，通过分类讨论即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵a_n＞0，${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}^2+4n-1）$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}^{2}+4-1）$，解得a₁=1或3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}（{a}_{n}^{2}+4n-1）$-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+4n-5）$，
化为（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
∴a_n+a_n-1=2或a_n-a_n-1=2，
①若a_n+a_n-1=2，当a₁=1时，可得a_n=1，（n∈N^*），数列{a_n}为常数数列，舍去；当a₁=3时，可得a₂=-1，与a_n＞0矛盾，舍去；
②若a_n-a_n-1=2，当a₁=1时，可得a_n=2n-1，（n∈N^*），满足题意．当a₁=3时，可得a_n=2n+1，（n∈N^*），满足题意．
综上可得：a_n=2n±1，（n∈N^*）．
（II）当a_n=2n-1，${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$，
则数列{b_n}的前项n和T_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$=1-$\frac{1}{2n-1}$=$\frac{2n-2}{2n-1}$．
同理可得：当a_n=2n+1，${b_n}=\frac{2}{{{a_n}•{a_{n-1}}}}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，则数列{b_n}的前项n和T_n=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．