Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数有且只有两个零点，求实数的取值范围；

（2）设函数的两个零点为，，且，求证.

Answer 1

【答案】（1）

（2）见解析

【解析】

（1）求导，根据导数求函数唯一的极大值，函数有两个零点转化为极大值大于零，且时，时，即可，分类讨论即可求出（2）变形方程，可得，是的两根，构造函数，利用导数求其单调区间，可得，即可证明不等式.

（1）解：，∴

当时，，∴在上单调递增，

当时，，∴在上单调递减.

∴

∵有且只有两个零点，

∴，即，

且时，时，，函数有两个零点，

若时，不符合题意，

若时，不符合，

若时，满足，

综上，若使有且只有两个零点，∴

（2）证法一：

∵，∴，∴，∴，是的两根

设，，，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∵，设，则必有，

构造函数，，

∵，

∴在上单调递增，∴，

∴，

又∵，在上单调递减，

∴，∴，

∴，即；

∴，即.

证法二：不妨设，

∵，∴，即，

设，∴，∴，

∵，∴，

∵，要证，只需证，

即证，即证.

设，（），

∵，∴在单调递增.

∵，∴，

∴，∴，即.

证法三：

不妨设，

∵，∴，

要证，只需证，

变形，得：，即.

设∴，设，（），

∵，∴在上单调递增，

∴，∴成立，∴.