Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+b_n+1=a_n，
（1）求证a_n=3×2^n-1；
（2）求证：b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．

Answer 1

证明：（1）∵{a_n}是等比数列，a₁=3，a₄=24，
设公比为q，则3q³=24，∴q=2． （2分）
∴a_n=3×2^n-1． （2分）
（2）（数学归纳法） （2分）
①当n=1时，b₁=0=2^1-1+（-1）¹，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立即b_k=2^k-1+（-1）^k，则
∵b_n+b_n+1=a_n=3×2^n-1，∴2^k-1+（-1）^k+b_k+1=3×2^k-1，
∴b_k+1=2^k+（-1）^k+1，即当n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ． （2分）
分析：（1）先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，a_n=3×2^n-1都成立；
（2）类似（1）的证明：先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ都成立
点评：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．