Question

已知P是抛物线y²=2x上的一个动点，过点P作圆（x-3）²+y²=1的切线，切点分别为M，N，则|MN|的最小值是

4 5

5

．

Answer 1

分析：根据题意，利用等面积可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

，所以当|PO₁|最小时，|MN|取最小值，故可求．

解答：解：设圆心为O₁（3，0），PO₁与MN交于E，则|PO₁|²=|PM|²+1，
由等面积可知：|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2

∴当|PO₁|最小时，|MN|取最小值，|PO₁|=

(x-3)2+y2

=

(x-3)2+2x

=

(x-2)2+5

∴当x=2时，|PO₁|有最小值

5

，
∴|MN|最小值是|MN|═2

1- 1 |PO|2

=

4 5

5

故答案为：

4 5

5

点评：本题重点考查圆与抛物线的综合，考查距离最小值的求解，解题的关键是利用等面积可得|MN|=2|ME|=

2|PM||O1M|

|PO1|

=

2|PM|

|PO1|

=

2 |PO1|2-1

|PO1|

=2

1- 1 |PO1|2