Question

13．斜率为1的直线l过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦点，交椭圆与AB两点，求弦长AB，及三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 由题意方程求出椭圆的右焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出坐标原点到直线l的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，则c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的右焦点F（$\sqrt{3}，0$），
则直线l的方程为y=x-$\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$5{x}^{2}-8\sqrt{3}x+8=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$．
∴$|AB|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-\frac{32}{5}}=\frac{8}{5}$；
O到直线AB的距离为d=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的位置关系的应用，是中档题．