Question

直线x-2y-1=0与抛物线y²=4x交于A，B两点，C为抛物线上的一点，∠ACB=90°，则点C的坐标为________．

Answer 1

（1，-2）或（9，-6）
分析：设，由题中直线与抛物线消去x，得y²-8y-4=0，结合韦达定理得y₁+y₂=8，y₁•y₂=-4；再利用直线方程得：x₁+x₂=18，x₁•x₂=1．根据∠ACB=90°得，代入A、B、C坐标并化简得t⁴-14t²-16t-3=0，解此方程并加以讨论可得：t₁=-1，t₂=-3，从而得到点C的坐标．
解答：设，
由，得 y²-8y-4=0，
根据一元二次方程根与系数关系，
得y₁+y₂=8…①，y₁•y₂=-4…②．
又∵x₁=2y₁+1，x₂=2y₂+1，
∴x₁+x₂=2（y₁+y₂）+2=18…③，x₁•x₂=4y₁•y₂+2（y₁+y₂）+1=1…④．
∵∠ACB=90°，
∴，即，
即，
即t⁴-14t²-16t-3=0，
将①②③④的值代入，得（t²+4t+3）（t²-4t-1）=0．
显然t²-4t-1≠0，否则t²-2•2t-1=0，则点C在直线x-2y-1=0上，从而点C与点A或点B重合．
因此t²+4t+3=0，解得t₁=-1，t₂=-3，得所求点C的坐标为（1，-2）或（9，-6）．
故答案为：（1，-2）或（9，-6）．
点评：本题给出抛物线的弦AB，且在抛物线上存在一点C使∠ACB=90°，求点C的坐标．着重考查了抛物线的方程、简单几何性质和直线与抛物线位置关系等知识，属于中档题．