Question

如图，已知边长都为1正方形ABCD与正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分别是对角线AC和BF上的点，且AM=FN=a(0＜a＜

2

)．
（1）求证：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）过M作MP⊥AB，垂足为P，连接PN，由平行线分线段成比例定理，我们易得到PN∥AF，由面面平行的判定定理可得平面MPN∥平面CBE，再由面面平行的性质，即可得到MN∥平面BCE；
（2）由已知中边长都为1正方形ABCD与正方形ABEF，∠DAF=90°，AM=FN=a(0＜a＜

2

)，根据勾股定理，我们易得MN²=a2-

2

a+1，根据二次函数的性质，易得到MN的最小值．

解答：解：（1）证明：过M作MP⊥AB，垂足为P，连接PN．
∵

AM

MC

=

AP

PB

，又

AM

MC

=

FN

NB

∴

AP

PB

=

FN

NB

[（2分）]
∴PN∥AF
∴平面MPN∥平面CBE[（4分）]
从而MN∥平面BCE[（6分）]
 （2）∠MPN=90°MP=

2

2

a，PN=1-

2

2

a[（8分）]
由勾股定理知：MN2=MP2+PN2=a2-

2

a+1=(a-

2

2

)2+

1

2

[（10分）]
当a=

2

2

a时，MN的最小值为

2

2

．[（12分）]

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，空间中两点之间的距离运算，其中（1）中，根据线面平行的判定定理证明有较大的难度，故采用先证面面平行，再由面面平行的性质得到线面平行，（2）的关键是将空间两点间的距离表示成a的函数，进而转化成求函数最值的问题．