Question

已知函数在（1,2）上是增函数，在（0,1）上是减函数。

求的值；

当时，若在内恒成立，求实数的取值范围;

求证：方程在内有唯一解.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ）。（Ⅲ）方程=0在内有唯一解。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对任意的恒成立，因此。同理，由即对任意恒成立，因此。所以，

    。

（Ⅱ），时，为减函数，最小值为1.

令，则.

∵，,∴,∴在上为增函数，其最大值为

。

∴，得，故。

（Ⅲ）由得

设,则，

令，由得，解得，

令得，则

，有最小值0，且当时，，

∴方程=0在内有唯一解。

考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值，方程的解。

点评：典型题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。涉及“不等式恒成立”“方程的解”等问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值问题，利用导数加以解决。