Question

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＞0），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）用λ表示宣传画所用纸张面积S=f（λ）；
（2）判断函数S=f（λ）在（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）当λ取何值时，宣传画所用纸张面积S=f（λ）最小？

Answer 1

解：（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840．
所以纸张面积为S=f（λ）=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=代入上式，得S=f（λ）=5000+44（8）．
（2）设
则=
=-----------
当时，，∴，
∴，
∴f（λ₁）-f（λ₂）＞0，即f（λ₁）＞f（λ₂），
∴函数S=f（λ）在上是减函数．
同理可证S=f（λ）在上是增函数．
（3）由（2）知，当时，S=f（λ）是减函数，∴
当时，S=f（λ）是增函数，∴；
∴当时，
答：时，使所用纸张面积最小为6760cm²
分析：（1）设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx²=4840，可得纸张面积，从而可得结论；
（2）利用单调性的定义，即可得出结论；
（3）利用函数的单调性，即可求最值．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．