Question

（14分）已知（其中e为自然对数的底数）。
（1）求函数上的最小值；
（2）是否存在实数处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为
（2）故不存在，使曲线处的切线与轴垂直

解：（1）
令，得…………1分
①若，则在区间上单调递增，此时函数无最小值
……2分
②若时，，函数在区间上单调递减
当时，，函数在区间上单调递增
时，函数取得最小值…………4分
③若，则，函数在区间上单调递减
时，函数取得最小值…………5分
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为…………6分
（2）

……7分
由（1）可知，当
此时在区间上的最小值为
即…………9分
当，
…………12分
曲线y在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解
而，即方程无实数解
故不存在，使曲线处的切线与轴垂直…………