Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a=

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时，若存在x₁、x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求x₂-x₁的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=e^x+sinx-ax．
∴F′（x）=e^x+cosx-a．
因为x-=0是F（x）的极值点，
所以F′（0）=e⁰+cos0-a=0，所以a=2．
当x＜0时，F′（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0；
当x≥0时，则φ（x）=e^x+cosx-a，φ′（x）=e^x-sinx≥1-1=0；
所以函数Fx）在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．
于是x=0是函数F（x）的极小值点．
∴a=2符合题意．
（2）因为a=

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，由f（x₁）=g（x₂）得x₂=3（e^x+sinx₁），
∴x₂-x₁=3（（e^x+sinx₁-

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x₁），所以求x₂-x₁的最小值即求a=

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时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
由（1）得F′（x）=e^x+cosx-a在[0，+∞）上递增，
从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-

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＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x₂-x₁得最小值为3．
（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
则h′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．
令t（x）=h′（x），t′（x）=e^x-e^-x-2sinx，
令s（x）=t′（x），s′（x）=e^x+e^-x-2cosx．
∵s′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥2-2=0，
∴t′（x）在[0，+∞）递增，从而t′（x）≥t′（0）=0，
∴h′（x）在[0，+∞）递增，从而h′（x）≥h′（0）=4-2a．
当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，即h（x）≥h（0）=0
∴当a≤2时，F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立；
当a＞2时，h′（x）＜0，
又∵h′（x）在[0，+∞）递增，
所以总存在x₀∈（0，+∞）使得在区间[0，x₀）上h′（x）＜0，
导致h（x）在[0，x₀）上递减，而h（0）=0，
∴当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0
这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立不符，
所以a＞2不合题意．
综上：a的取值范围：（-∞，2]