Question

设{a_n}是等差数列，从{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有

1. A.
   90
2. B.
   120
3. C.
   180
4. D.
   200

Answer 1

C
分析：先根据等差中项确定数列一定是同奇同偶，然后将20个数分成奇数和偶数两种情况讨论．
解答：选出的数列中 首相+末相=2×中间相
所以 首相+末相 定是偶数
因为a_n为等差，所以可以表示成a_n=d×n+c（关于n的一次函数）
首相+末相=d×（首相项数+末相项数）+2×c
所以（首相项数+末相项数）为偶数
也就是说首相项数与末相项数同奇同偶
于是20个数中10个为奇数，10个位偶数
先任意从10个奇数中取出2个排列，作为首末两项
这样可以选出 10×9 个数列
同理任意从10个偶数中取出2个排列，作为首末两项
这样也可以选出 10×9 个数列
所以总共可以有 10×9×2=180
故选C．
点评：本题主要考查等差中项的性质．等差数列在数列中占很大的地位，对分析问题和解决问题都很重要．