Question

已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

AM

=2

.

AP

，

NP

•

.

AM

=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线y=kx+

k2+1

与（1）中所求点N的轨迹E交于不同两点F，H，O是坐标原点，且

2

3

≤

OF

•

OH

≤

3

4

，求k²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，先证明出NP为线段AM的垂直平分线，利用垂直平分线定理得到点N到点A、C的距离和为常数，从而得出所求轨迹是以A、C为焦点的椭圆，不难求出它的方程；
（2）在（1）的基础上，将直线y=kx+

k2+1

与椭圆方程联解消去y得关于x的方程，再利用根与系数的关系，得到

x1+x2=- 4k k2+1 2k2+1 x1x2= 2k 2 2k 2+1

，将这个关系代入到数量积

OF

 •

OH

当中，表示成关于k的式子，再进行化简，最终得到不等式

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

，解这个不等式可得k²的取值范围．

解答：解：（1）

AM

=2

.

AP

，，

NP

•

.

AM

=0
所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|
|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2

2

＞2=|CA|
所以动点N的轨迹是以C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，
且长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2，所以a=

2

，c=1，b²=1
曲线E的方程为

x 2

2

+y2=1．
（2）设F（x₁，y₁）H（x₂，y₂），则由

x 2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，消去y得
（2k²+1）x²+4k

k2+1

x+2k²=0，△=8k²＞0 （k≠0）

∴x1+x2=-

4k k2+1

2k2+1

，x1x2=

2k 2

2k 2+1

OF

•

OH

=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+  

k2+1

)(kx 2+ 

k2+1

)
=（k²+1）x₁x₂+k

k2+1

（x₁+x₂）+k²+1
=

(k 2+1)•2k 2

2k 2+1

-

(k 2+1)•4k 2

2k 2+1

+k2+1=

k 2 +1

2k 2+1

∴

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

⇒

1

2

≤k2≤1
∴k²的取值范围为[

1

2

，1]

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、圆的几何性质、平面向量的数量积运算以及圆锥曲线的综合应用等知识点，属于难题．本题对运算的要求相当高，解题中应注意设而不求和转化化归思想的运用．