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(08年潍坊市六模) (12分)如图,正三棱柱的底面边长为a,点M在边BC上,△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

 

  (1)求证点M为边BC的中点;

  (2)求点C到平面的距离;

  (3)求二面角的大小.

 

解析:(甲)(1)∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形,∴ 

  ∵ 正三棱柱, ∴ 底面ABC

  ∴ 在底面内的射影为CMAMCM

  ∵ 底面ABC为边长为a的正三角形, ∴ 点MBC边的中点.

 

  (2)过点CCH,由(1)知AMAMCM

  ∴ AM⊥平面 ∵ CH在平面内, ∴ CHAM

  ∴ CH⊥平面,由(1)知,

  ∴ . ∴ 

  ∴ 点C到平面的距离为底面边长为

  (3)过点CCII,连HI, ∵ CH⊥平面

  ∴ HICI在平面内的射影,

  ∴ HI,∠CIH是二面角的平面角.

  在直角三角形中,

  ∴ ∠CIH=45°, ∴ 二面角的大小为45°

 

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