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正方形ABCD的 边长是a,依次连结正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,再依次连结正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和是( )

A.
B.
C.
D.
【答案】分析:根据中位线定理,每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半,即可第一、二、三次连接得到的正方形的边长,依此类推找出规律,可得出第n次围出的正方形的边长,再由题意和等比数列的前n项和公式求出所要求出的值.
解答:解:由题意得,每一次连接得到的正方形的边长是上一个正方形对角线的一半,
根据中位线定理依次得:
第一次连接得到的正方形的边长为a,第二次连接得出的正方形的边长为a=a,
第三次次连接得出的正方形的边长为a,…
综上可得第n次围出的正方形边长为
由题意知,一只小虫在每个正方形爬行的线段的长度是此正方形的边长的一半,
所求的10条线段的长度的平方和是:
s=[1+++…+]=×=
故选A.
点评:本题以图形的变化为载体,考查了归纳推理的应用,中位线定理,等比数列的前n项和公式,解题的关键是通过观察、归纳与总结,得到其中的规律,求出第n次围出的正方形的边长.
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正方形ABCD的边长为1,记
AB
=
a
BC
=
b
AC
=
c
,则下列结论错误的是(  )
A、(
a
-
b
)•
c
=0
B、(
a
+
b
-
c
)•
a
=0
C、(|
a
-
c
|-|
b
|)
a
=
0
D、|
a
+
b
+
c
|=
2

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