Question

3．求函数y=$\frac{sinx-1}{cosx+\sqrt{2}-1}$的值域．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的值域，解一元二次不等式求得函数y的取值范围．

解答 解：∵函数y=$\frac{sinx-1}{cosx+\sqrt{2}-1}$，∴sinx-1=ycosx+$\sqrt{2}$y-y=0，即sinx-ycosx=（$\sqrt{2}$-1）y+1，
即 $\sqrt{1{+y}^{2}}$sin（x+θ）=（$\sqrt{2}$-1）y+1，即 sin（x+θ）=$\frac{（\sqrt{2}-1）y+1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$．
根据|sin（x+θ）|≤1，求得|$\frac{（\sqrt{2}-1）y+1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$|≤1，平方化简可得（2$\sqrt{2}$-2）y²≥2（$\sqrt{2}$-1）y，
即 y（y-1）≥0，解得y≥1，或y≤0，即函数的值域为{x|y≥1，或y≤0}．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，一元二次不等式的解法，属于中档题．