Question

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

分析：先设设长方体的宽为x（m），利用长方体的体积公式求得其体积表达式，再利用导数研究它的单调性，进而得出此函数的最大值即可．

解答：解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h=

18-12x

4

=4.5-3x(m)(0＜x＜

3

2

)．
故长方体的体积为V（x）=2x²（4.5-3x）=9x²-6x³（m³）(0＜x＜

3

2

)．
从而V′（x）=18x-18x²=18x（1-x）．
令V′（x）=0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1．
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2

3

时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．
从而最大体积V=V′（x）=9×1²-6×1³（m³），此时长方体的长为2m，高为1.5m．
答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m³．

点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．