Question

用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为    时，其体积最大．

Answer 1

【答案】分析：设长方体的宽为xcm，则长为2xcm，高为（）cm；它的体积为V=2x•x•（-3x）=9x²-6x³；对V求导，并令V′（x）=0，得x=1时，函数V有最大值，求出此时长，宽，高即可．
解答：解：设长方体的宽为xcm，则长为2xcm，高为（）cm；
它的体积为V=2x•x•（-3x）=9x²-6x³，（其中0＜x＜）；
对V求导，并令V′（x）=0，得18x-18x²=0，解得x=0，或x=1；
当0＜x＜1时，函数V（x）单调递增，当1＜x＜时，函数V（x）单调递减；
所以，当x=1时，函数V（x）有最大值，此时长为2cm，宽为1cm，高为1.5cm．
故答案为：2cm，1cm，1.5cm．
点评：本题考查了长方体模型的应用，本题中利用长方体的体积公式建立三次函数解析式，再利用求导法求得函数的最值，是中档题．