Question

13．（理）在三棱锥S-ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，平面SBC与平面SAC所成的角为60°，且三棱锥S-ABC的体积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，则三棱锥的外接球的半径为（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设SB=BC=x，则SC=$\sqrt{2}$x，由题意SB=BC=SA=AC=x，SC为三棱锥的外接球的直径．过S点作SD⊥平面ABC，连接BD，AD，可知∠CBD=∠CAD=90°，∠SAD=60°，利用三棱锥的体积公式求出x，即可求出三棱锥的外接球的半径．

解答 解：如图所示，设SB=BC=x，则SC=$\sqrt{2}$x，由题意SB=BC=SA=AC=x，SC为三棱锥的外接球的直径．
过S点作SD⊥平面ABC，连接BD，AD，可知∠CBD=∠CAD=90°，∠SAD=60°，D点在AB边上的中线上，则AB被CD垂直平分，设交点为E，
∵SA=x，∴AD=$\frac{1}{2}$x，SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}x×\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}x$×AE，
∴AE=$\frac{1}{\sqrt{5}}$x，
又x²=CE×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴CE=$\frac{2}{\sqrt{5}}$x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}x×\frac{2}{\sqrt{5}}x$x=$\frac{2}{5}$x²，
∵三棱锥S-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{6}}{15}$，
∴$\frac{2\sqrt{6}}{15}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$x²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴SC=2，
∴三棱锥的外接球的半径为1，
故选：B．

点评 本题考查三棱锥体积的计算，考查三棱锥的外接球的半径，正确求体积是关键．