Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$．
（1）若$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，求k的值；
（2）当k=2时，求$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算，求出$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$，（1）利用$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，列出方程求出k的值；
（2）利用数量积公式求出$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$夹角的余弦值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow{b}$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=（1，-2），$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$=（-2-k，1+k）；
（1）$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=-2（-2-k）+（1+k）=0，
解得k=-$\frac{5}{3}$；
（2）当k=2时，$\overrightarrow{n}$=（-4，3），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1×（-4）-2×3=-10，
且|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=5；
∴$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$夹角的余弦值为
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了向量垂直与夹角的计算问题，是基础题目．