Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-

1

an

．
（Ⅰ）设c=

5

2

，b_n=

1

an-2

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令c=

5

2

代入到a_n+1=c-

1

an

中整理并令b_n=

1

an-2

进行替换，得到关系式b_n+1=4b_n+2，进而可得到{bn+

2

3

}是首项为-

1

3

，公比为4的等比数列，先得到{bn+

2

3

}的通项公式，即可得到数列{b_n}的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a_n＜a_n+1，然后当c＞2时，令α=

c+ c2-4

2

，根据由an+

1

an

＜an+1+

1

an

=c得an＜α可发现c＞

10

3

时不能满足条件，进而可确定c的范围．

解答：解：（1）an+1-2=

5

2

-

1

an

-2=

an-2

2an

，

1

an+1-2

=

2an

an-2

=

4

an-2

+2，即b_n+1=4b_n+2
bn+1+

2

3

=4(bn+

2

3

)，a₁=1，故b1=

1

a1-2

=-1
所以{bn+

2

3

}是首项为-

1

3

，公比为4的等比数列，
bn+

2

3

=-

1

3

×4n-1，bn=-

4n-1

3

-

2

3

（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用数学归纳法证明：当c＞2时a_n＜a_n+1．
（ⅰ）当n=1时，a₂=c-

1

a1

＞a₁，命题成立；
（ii）设当n=k时，a_k＜a_k+1，
则当n=k+1时，ak+2=c-

1

ak+1

＞c-

1

ak

=ak+1
故由（i）（ii）知当c＞2时，a_n＜a_n+1
当c＞2时，令α=

c+ c2-4

2

，由an+

1

an

＜an+1+

1

an

=c得an＜α
当2＜c≤

10

3

时，a_n＜α≤3
当c＞

10

3

时，α＞3且1≤a_n＜α
于是α-an+1=

1

anα

(α-an)≤

1

3

(α-an)
α-an+1= 

1

3n

 (α-1)
当n＜log3

α-1

α-3

时，α-an+1＜α-3，an+1＞3
因此c＞

10

3

不符合要求．
所以c的取值范围是（2，

，10

3

]．

点评：本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．