Question

已知动圆S过点T（0，2）且被x轴截得的弦CD长为4。
（1）求动圆圆心S的轨迹E的方程；
（2）设P是直线l：y=x-2上任意一点，过P作轨迹E的切线PA，PB，A，B是切点，求证：直线AB恒过定点M；
（3）在（2）的条件下，过定点M作直线l：y=x-2的垂线，垂足为N，求证：MN是∠ANB的平分线。

Answer 1

解：（1）设S（x，y），根据题意，
|ST|²=|SC|²=2²+|y|²，
即。
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
则PA：，即
设P（t，t-2），P在PA上
同理，P在PB上
故x₁，x₂是方程
的两根，



故恒过点（2，2）。
（3）证明：过点M所作垂线l₁的方程为y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）
MN的斜率为-1，故倾斜角为
若AN，BN的斜率均存在，则设其分别为k₁，k₂，
对应的倾斜角分别为α，β，
要证MN是∠ANB的平分线，只要证∠ANM=∠BNM，
即，
即要证k₁k₂=1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y= k（x-2）+2代入x²=4y，
得x²-4kx+8k-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8
y₁+y₂=k（x₁-2）+2+k（x₂-2）+2 =4k²-4k+4，②

将②，③代入①，得
 
当时，k₁k₂=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为（-2，1），，
验证AN与BN的斜率一个不存在，一个为零，
即∠ANM=∠BNM，
即MN是∠ANB的平分线。