Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=

2

2

，且其中一个焦点与抛物线y=

1

4

x2的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

1

3

，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．
（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据伟大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，代入

TA

•

TB

的表达式中，求得

TA

•

TB

=0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，离心率e=

2

2

，

c

a

=

2

2

，抛物线y=

1

4

x2的焦点为（0，1），所以c=1，a=

2

，b=1，椭圆C的方程是x²+

y2

2

=1
（Ⅱ）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x²+y²=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+

1

3

）²+y²=

16

9

．
由

x2+y2=1 (x+ 1 3 )2+y2= 16 9

解得

x=1 y=0

即两圆相切于点（1，0）．
因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．
事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．
若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+

1

3

）．
由

y=k(x+ 1 3 ) x2+ y 2 2=1

即（k²+2）x²+

2

3

k²x+

1

9

k²-2=0．
记点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= - 2 3 k2 k2+2 x1x2= 1 9 k2-2 k2+2

又因为

TA

=（x₁-1，y₁），

TB

=（x₂-1，y₂），

TA

•

TB

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+

1

3

）（x₂+

1

3

）
=（k²+1）x₁x₂+（

1

3

k²-1）（x₁+x₂）+

1

9

k²+1
=（k²+1）

1 9 k2-2

k2+2

+（

1

3

k²-1）

- 2 3 k2

k2+2

+

1

9

k2+1=0，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．