Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P（1，

3

2

）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂M⊥l，求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程，题目给出c=1，把点P的坐标带入椭圆方程，结合a²=b²+c²求解a，b的值，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0得到直线的斜率和截距的关系，由点到直线距离公式分别求出F₁，F₂ 到直线的距离，把距离作差后结合直线的倾斜角把
|MN|用距离差的绝对值和直线的斜率表示，然后代入直角梯形的面积公式，转化为含有一个变量的代数式后换元，最后利用导数求最值．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
由已知可得

1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2 c=1

，
解得：a=2，b=

3

，
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）如图，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化简得：m²=4k²+3．
设d1=|F1M|=

|-k+m|

k2+1

，d2=|F2M|=

|k+m|

k2+1

．
当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d₁-d₂|=|MN||tanθ|，
∴|MN|=|

d1-d2

k

|，
S=

1

2

|

d1-d2

k

|(d1+d2)=|

d12-d22

2k

|
=

2|m|

k2+1

=

2|m|

m2-3 4 +1

=

8

|m|+ 1 |m|

．
∵m²=4k²+3，∴当k≠0时，|m|=

3

，令g(t)=t+

1

t

，t=|m|＞

3

，g′(t)=1-

1

t2

，
当t＞

3

时，g′（t）＞0，∴g（t）在[

3

，+∞）上为增函数，
∴g(t)＞g(

3

)=

4 3

3

，∴S＜2

3

．
当k=0时，四边形F₁MNF₂是矩形，S=2

3

．
所以四边形F₁MNF₂面积S的最大值为2

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的导函数求最值，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试题中的压轴题．