Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆C任意一点P到两个焦点F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且

OA

•

OB

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义，知 a=2，c=

3

，则b=

a2-c2

=1．由此能求出动点M的轨迹方程．
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

OC

•

OD

=0，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，知y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，由此入手能够求出直线l的方程．

解答：解：（1）根据椭圆的定义，知 a=2，c=

3

，则b=

a2-c2

=1． …（2分）
所以动点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1． …（4分）
（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∵

OC

•

OD

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．①
由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx-2

得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，
代入①，得(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
即k²=4，解得k=2或k=-2，
∴直线l的方程是y=2x-2或y=-2x-2．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．