Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为x=-

5

2

，离心率为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知所求的椭圆的焦点在x轴上故可设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)然后利用它的一条准线为x=-

5

2

，离心率为

2 5

5

再结合a²=b²+c²即可求出a，b，c则问题即可求解．
（2）根据题意可得直线L的斜率存在故可设直线L的方程为y=k（x-2）则M（0，-2k）再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据向量的坐标计算可得

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=( 2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=(2-x2，-y2)然后再结合条件

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

可求出点A，B的坐标而A，B两点都在椭圆

x2

5

 +y2=1上则代入可得关于λ₁，λ₂的式子然后分析求解即可．

解答：解：（1）由题意可设所求的椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)
∵它的一条准线为x=-

5

2

，离心率为

2 5

5

∴

a2 c = 5 2 c a = 2 5 5 a2= b2+c2

∴a=

5

，b=1，c=2
∴椭圆C的方程为

x2

5

 +y2=1
（2）经分析知过椭圆C的右焦点F的直线l的斜率存在设为k则直线L的方程为y=k（x-2）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）而F（2，0），M（0，-2k）
∴

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=( 2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=(2-x2，-y2)
又∵

MA

=λ1

AF

， 

MB

=λ2

BF

∴

x1=λ1(2-x1)  y1+2k=-λy1

，

x2=λ2(2-x2)   y2+2k=-λy2

∴

x1= 2λ1 1+λ1 y1= -2k 1+λ1

，

x2= 2λ2 1+λ2 y2= -2k 1+λ2

∵A，B两点都在椭圆

x2

5

 +y2=1上
∴λ₁²+10λ₁+5-20k²=0且λ₂²+10λ₂+5-20k²=0
∴λ₁，λ₂为方程x²+10x+5-20k²=0的两根
∴λ₁+λ₂=-10

点评：本题主要考察了直线与圆锥曲线的综合．解题的关键是第一问需利用待定系数法求椭圆方程关键是a，b，c的求解而第二问须在得出λ₁²+10λ₁+5-20k²=0且λ₂²+10λ₂+5-20k²=0后分析出λ₁，λ₂为方程x²+10x+5-20k²=0的两根然后利用根与系数的关系求解，则充分体现了“设而不求”的解题技巧！