Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0），其左右焦点分别为F₁，F₂．对于命题p：“?点P∈C，∠F₁PF₂＜$\frac{π}{2}$”．写出?p，判断?p的真假，并说明理由．

Answer 1

分析 ￢p容易写出为，￢q：?点P∈C，$∠{F}_{1}P{F}_{2}≥\frac{π}{2}$，由于$∠{F}_{1}P{F}_{2}≥\frac{π}{2}$?$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}≤0$，可设P（x，y），从而可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，并且可得到x²≤-8，显然不成立，从而得出￢p为假命题．

解答 解：￢p：?点P∈C，$∠{F_1}P{F_2}≥\frac{π}{2}$，该命题为假命题；
理由如下：
因为$∠{F_1}P{F_2}≥\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}≤0$；
设P（x，y），F₁（-1，0），F₂（1，0），$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-1-x，-y），\overrightarrow{P{F}_{2}}=（1-x，-y）$；
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x^2}+{y^2}-1≤0$时，${x^2}+3-\frac{3}{4}{x^2}-1≤0$；
即x²≤-8，无解；
所以￢p为假命题．

点评 考查椭圆的标准方程，知道全称命题的否定为特称命题，数量积的计算公式及其坐标运算．