Question

6．已知动点P在抛物线y²=2x上，定点A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标．

Answer 1

分析 先设P点坐标为（x，y），利用两点间的距离公式求出点P与点A的距离的表达式；再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点A的距离的最小值，并求得P点横坐标．

解答 解：设P（x，y），则$|PA|=\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2x}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2-2m）x+{m}^{2}}$，x∈（0，+∞），
设函数g（x）=x²+（2-2m）x+m²，（x∈（0，+∞）），
其对称轴方程为x=m-1，
当m-1＜0，即m＜1时，
g（x）=x²+（2-2m）x+m²在x≥0时为增函数，
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g（0）}=\sqrt{{m}^{2}}=m$，此时P的横坐标为0；
（2）当m-1≥0即m≥1时，
g（x）=x²+（2-2m）x+m²（x≥0）在（0，m-1）上递减，在（m-1，+∞）上递增，
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g（m-1）}$=$\sqrt{2m-1}$，此时P的横坐标为m-1．
综上所述，当m＜1，点P与点A的距离的最小值为m，P的横坐标为0；当m≥1，点P与点A的距离的最小值为$\sqrt{2m-1}$，P的横坐标为m-1．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查二次函数在固定区间上的最值求法．在求二次函数在固定区间上的最值时，一定要注意分对称轴在区间左边，对称轴在区间右边以及对称轴在区间中间三种情况来讨论，此题是中档题．