已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆 .其中a2=b2+c2.a＞0.b＞c＞0．如图.设点F.F1.F2是相应椭圆的焦点.A1.A2和B1.B2是“果圆与x.y轴的交点.(1)若三角形FF1F2是边长为1的等边三角形.求“果圆的方程,(2)若|A1A|＞|B1B|.求的取值范围,(3)一条直线与果圆交于两点.两点的连线段称为果圆的弦．是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知半椭圆

与半椭圆

组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形FF₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求

的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）因为

，
所以

，
由此可知“果圆”方程为

，

．
（2）由题意，得

，所以a²-b²＞（2b-a）²，得

．再由

可知

的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为

，

．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆

的交点是

．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线

上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
解答：解：（1）∵

，
∴

，
于是

，
所求“果圆”方程为

，

（2）由题意，得a+c＞2b，即

．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得

．
又b²＞c²=a²-b²，
∴

．∴

．

（3）设“果圆”C的方程为

，

．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（-b≤t≤b）与半椭圆

的交点是P

，
与半椭圆

的交点是Q

．
∴P，Q的中点M（x，y）满足

得

．
∵a＜2b，∴

．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆

的交点是

．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线

上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

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