Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项的和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N⁺），b₁+b₂+b₃=
15．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即 …4分
又 a₂=2S₁+1=3=3a₁ …2分
∴{a_n}是公比为3的等比数列 …8分
（2）由（1）得：a_n=3^n-1 …9分
设{b_n}的公差为d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5 …11分
依题意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，有（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故T_n=3n+=n²+2n …16分．
分析：（1）通过a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．利用等比数列的定义判断{a_n}是公比为3的等比数列．
（2）由（1）得数列{a_n}通项公式，设{b_n}的公差为d（d＞0），利用a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求出公差，然后求解T_n．
点评：本题考查等比数列的性质，等差数列的前n项和，等比关系的确定的应用，考查计算能力．