Question

如图，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁与四棱锥A-BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=2，AD=4，BB₁=1．
设O是线段BD的中点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）证明：平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．

Answer 1

分析：（1）取B₁D₁的中点E，连接C₁E，OA，易证C₁EAO为平行四边形，从而得而C₁O∥EA，利用线面平行的判定定理即可；
（2）可根据∠ABC=120°，AB=2，AD=4，证得∠ABD=

π

2

，即BD⊥AD，进一步可证BD⊥DD₁，从而证得BD⊥平面ADD₁，BD∥B₁D₁，于是得B₁D₁⊥平面ADD₁，利用面面垂直的判定定理可得结论．

解答：（1）证明：取B₁D₁的中点E，连接C₁E，OA，则A，O，C共线，且C₁E=OA，--（1分）
∵BCD-B₁C₁D₁为三棱柱，
∴平面BCD∥平面B₁C₁D₁，
故C₁E∥OA，----（3分）
∴C₁EAO为平行四边形，
从而C₁O∥EA．-----------（5分）
又∵C₁O?平面AB₁D₁，EA?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．----------（7分）
（2）证明：∵∠ABC=120°，AB=2，AD=4，
∴BD=

4+16-2×2×4cos600

=2

3

，
∴AD²=16=AD²+BD²，∠ABD=

π

2

，
即BD⊥AD，----------（10分）
又BB₁⊥平面BCD，BD?平面BCD，BB₁⊥BD，
在三棱柱BCD-B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，则BD⊥DD₁，
而DD₁∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD₁，-------（12分）
又BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面ADD₁，
而B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．--------（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，着重考查面面垂直与线面平行的判定定理的应用，注意使用定理的严谨性，属于难题．