Question

如图，在三棱柱BCD-B₁C₁D₁与四棱锥A-BB₁D₁D的组合体中，已知BB₁⊥平面BCD，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=，AD=3，BB₁=1．
（1）设O是线段BD的中点，求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求直线AB₁与平面ADD₁所成的角．

Answer 1

解：（1）取B₁D₁的中点E，连接AC，AE，C₁E
∵C₁E∥CO，C₁E=CO，CO=OA
∴C₁E∥OA，C₁E=AO
∴四边形C₁EAO为平行四边形，
∴C₁O∥EA，又EA?平面AB₁D₁；
∴C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）如图：补图构成平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，作B₁F⊥A₁D₁于F，
连AF，∵B₁F⊥DD₁，DD₁∩A₁D₁=D₁，
∴B₁F⊥平面ADD₁，
∴∠B₁AF为直线AB₁与平面ADD₁所成的角
在△B₁AF中可计算出
∴在△B₁AF中
∴直线AB₁与平面ADD₁所成的角为．
分析：（1）取B₁D₁的中点E，连接AC，AE，C₁E，先证明四边形C₁EAO为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明C₁O∥平面AB₁D₁即可；
（2）补图构成直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，作B₁F⊥A₁D₁于F，先利用线面垂直的判定定理证明B₁F⊥平面ADD₁，从而找到线面角的平面角∠B₁AF，最后在直角三角形中计算此角即可
点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及其应用，线面垂直的判定定理及其应用，直线与平面所成的角的作法、证法、算法，将空间问题转化为平面问题的思想方法