Question

19．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（1）求证：b²=ac；
（2）若a=2c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角恒等变换化简sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，再利用正弦定理可得b²=ac；
（2）根据题意求出a、c和b的值，利用余弦定理求出cosB，再根据同角的三角函数关系求出sinB，计算△ABC的面积即可．

解答 解：（1）证明：在△ABC中，由于sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，
所以sinB（$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinC}{cosC}$）=$\frac{sinA}{cosA}$•$\frac{sinC}{cosC}$，
因此sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC；
又A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB，
因此sin²B=sinAsinC，
由正弦定理可得b²=ac；-----（6分）
（2）因为a=2c=2，
所以a=2，c=1，
又b²=ac，所以b=$\sqrt{2}$；
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
又因为0＜B＜π，所以sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$；
所以△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．-----（12分）

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．