Question

（2012•海口模拟）若圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A．B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（　　）

• A．

  x2

  9

  -

  y2

  72

  =1
• B．

  y2

  9

  -

  x2

  72

  =1
• C．

  x2

  16

  -

  y2

  81

  =1
• D．

  y2

  81

  -

  x2

  16

  =1

Answer 1

分析：由题设知A、B是双曲线的顶点．令x=0，则y=-3或y=3，故A（0，-3），B（0，3），在双曲线中，a=3，2c=3×2a=18，由此能求出双曲线的标准方程．

解答：解：∵圆x²+y²-4x-9=0与y轴的两个交点A、B都在双曲线上，
且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A、B是双曲线的顶点．
令 x=0，则 y=-3或y=3，
∴A（0，-3），B（0，3），
在双曲线中，a=3，2c=3×2a=18，
∴a=3，c=9，b²=81-9=72，
因此，双曲线的标准方程是

y2

9

-

x2

72

=1．
故选C．

点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．