Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P使

PF1

•

PF2

=0，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．(0，

  2

  2

  ]
• C．[

  2

  2

  ，1)
• D．[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：根据题意，△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，可得|

PF1

|2+|

PF2

|2=|

F1F2

|2．由椭圆定义，可得椭圆的离心率等于焦距|F₁F₂|与|PF₁|+|PF₂|的比值，再利用基本不等式加以计算即可得到该椭圆的离心率的取值范围．

解答：解：∵椭圆上存在点P使

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

，可得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形
∵|

PF1

|+|

PF2

|=2a，|

F1F2

|=2c
∴椭圆的离心率e=

2c

2a

=

| F1F2 |

| PF1 |+| PF2 |

又∵(|

PF1

|+|

PF2

|)2≤2(|

PF1

|2+|

PF2

|2)=2|

F1F2

|2=8c²
∴e=

| F1F2 |

| PF1 |+| PF2 |

≥

2c

2 2 c

=

2

2

∵椭圆的离心率e∈（0，1），
∴该椭圆的离心率的取值范围是[

2

2

，1）
故选：C

点评：本题给出椭圆上存在一点对两个焦点所张的角是直角，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．