Question

若数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C_n，使得b_n+1=a，并求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{d_n}满足d_n=a_n•b_n，且{d_n}中不存在这样的项d_t，使得“d_k＜d_k-1与d_k＜d_k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N^*），试求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列的通项公式，可得a_n=6n-12t；再由数列前n项和与第n项的关系，即可算出{b_n}的通项公式；
（2）由{b_n}是等比数列，结合（1）的通项公式可得b_n=2•3^n-1，算出出t=1从而得到a_n=6n-12t．通过变形整理，得到b_n+1=6（3^n-1+2）-12，从而得到存在c_n=3^n-1+2∈N^*，使=b_n+1成立，由等比数列求和公式即可算出{c_n}的前n项和T_n；
（3）根据（1）的结论，得，由此进行作差，得d_n+1-d_n=8[n-（2t-）]•3ⁿ（n≥2）．因此，分t＜、2和m（m∈N且m≥3）三种情况加以讨论，分别根据数列{d_n}的单调性解关于t的不等式，最后综合即可得到实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列，
∴a_n=（6-12t）+（n-1）×6=6n-12t…（2分）
而数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t，所以
当n≥2时，b_n=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
又∵b₁=S₁=3-t，
∴ …（4分）
（2）∵数列{b_n}是等比数列，∴b₁=3-t=2•3^1-1=2，解之得t=1，
因此，b_n=2•3^n-1，且a_n=6n-12 …（5分）
对任意的n（n∈N，n≥1），由于b_n+1=2•3ⁿ=6•3^n-1=6（3^n-1+2）-12，
令c_n=3^n-1+2∈N^*，则=6（3^n-1+2）-12=b_n+1，所以命题成立 …（7分）
数列数列{c_n}的前n项和为：T_n=2n+=•3ⁿ+2n- …（9分）
（3）根据（1）的结论，得，
由于当n≥2时，d_n+1-d_n=4（n+1-2t）•3ⁿ⁺¹-4（n-2t）•3ⁿ=8[n-（2t-）]•3ⁿ，
因此，可得
①若2t-＜2，即t＜时，则d_n+1-d_n＞0，可得d_n+1＞d_n，
∴当n≥2时，{d_n}是递增数列，结合题意得d₁＜d₂，
即6（3-t）（1-2t）≤36（2-2t），解之得≤t≤，…（13分）
②若2，即，则当n≥3时，{d_n}是递增数列，
∴结合题意得d₂=d₃，4（2t-2）×3²=4（2t-3）×3³，解之得t=（14分）
③若m（m∈N且m≥3），即+≤t≤+（m∈N且m≥3），
则当2≤n≤m时，{d_n}是递减数列，当n≥m+1时，{d_n}是递增数列，
结合题意，得d_m=d_m+1，即4（2t-m）×3^m=4（2t-m-1）×3^m+1，解之得t=…（15分）
综上所述，t的取值范围是≤t≤或t=（m∈N且m≥2）…（16分）
点评：本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列，求它们的通项公式并找出由它们的公共项构成的新数列规律，并依此求新数列的前n项和．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论的数学思想和数列中的猜想、类比与递推的思想，对数学的综合能力要求较高，属于难题．