Question

（本小题满分14分）

已知二次函数满足以下两个条件：

①不等式的解集是（-2，0）   ②函数在上的最小值是3 

（Ⅰ）求的解析式；

 （Ⅱ）若点在函数的图象上，且

（ⅰ）求证：数列为等比数列

（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f（x）= x ² + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ） 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为根据题意可知f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数

因此可设  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，

f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，得到参数a的值。

（Ⅱ）（ⅰ）因为点（a _n , a _{n + 1} ）在函数f（x）= x ² + 2 x 的图象上

∴得到递推关系式 a _{n + 1}  = a _n ² + 2 a _n  ,  构造等比数列求解通项公式。

（ⅱ）由上题可知，要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，转换为二次不等式求解。

解：（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数

       ∴ 可设  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，

       ∴  f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，

       ∴ a = 1 ，所以f（x）= x ² + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）∵ 点（a _n , a _{n + 1} ）在函数f（x）= x ² + 2 x 的图象上，

∴ a _{n + 1}  = a _n ² + 2 a _n  ,则 1 + a _{n + 1}  = 1 + a _n ² + 2 a _n = （1 + a _n）² 

           ∴ , 又首项

           ∴ 数列 为等比数列，且公比为2 。

（ⅱ）由上题可知，要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，

法一：对一切的恒成立，

令，

∵在是单调递增的，∴的最小值为

＝      所以 

法二：

设

当时，由于对称轴直线，且 ，而函数在 是增函数，∴不等式恒成立

即当时，不等式对于一切的恒成立

考点：本试题主要考查了数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

点评：解题时要注意对于不等式恒成立问题的等价转化为一元二次不等式问题。