Question

已知空间四点O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，4），
（1）若直线AB上的一点H满足AB⊥OH，求点H的坐标．
（2）若平面ABC上的一点G满足OG⊥面ABC，求点G的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意，可设

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，得到

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)，令其内积为0，即可得到参数λ所满足的方程，解出参数的值，即可得到点H的坐标．
（2）设G（x，y，z），求出向量

OG

的坐标，由于OG⊥面ABC可得

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0由这两个等式得到方程，解出点G的坐标．

解答：解：（1）设

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，则

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)
由

OH

•

AB

=0，得-4+4λ+4λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴H的坐标为（1，1，0）
（2）设G（x，y，z），

AB

=(-2，2，0)，

AC

=(-2，0，4)，由

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0
得

-2x+2y=0 -2x+4z=0

∴

x=2z y=2z

①
又∵G在ABC面上，
∴

AG

=λ

AB

+μ

AC

即（X-2，Y，Z）=（-2λ，2λ，0）+（-2μ，0，4μ）=（-2λ-2μ，2λ，4μ），
∴

x-2=-2λ-2μ y=2λ z=4μ

②由①②得x=

8

9

，y=

8

9

，，z=

4

9

∴H的坐标为(

8

9

，

8

9

，

4

9

)．

点评：本题考点是平面向量综合题，考查了线面垂直的向量表示，向量数量积坐标表示，向量共线的坐标表示，向量共面基本定理等，解题的关键是理解题意，熟练掌握垂直关系与数量积的对应，本题考查了方程的思想及推理判断的能力是向量中的综合性较强的题