Question

(本小题满分13分)
设定义在R上的函数f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)当x＝－1时，f(x)取得极大值，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－，]上；
(Ⅲ)设x_n＝，y_m＝(m，n∈N^?)，求证：|f(x_n)－f(y_m)|<.

Answer 1

解：(Ⅰ)将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝a₁x³＋a₃x.
∴f′(x)＝3a₁x²＋a₃.
由题意得：.
所以，f(x)＝x³－x.经检验满足题意.                                 (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x²－1.
故设所求两点为(x₁，f(x₁))，(x₂，f(x₂))，(x₁，x₂∈[－，])
得f′(x₁)·f′(x₂)＝(x－1)(x－1)＝－1.
∵x－1，x－1∈[－1,1]，
∴或
∴或
∴满足条件的两点的坐标为：(0,0)，或(0,0)，.            (8分)
(Ⅲ)∵x_n＝＝1－，(n∈N)
∴x_n∈
当x∈时，导函数f′(x)<0，即函数f(x)在上递减，
得f(x_n)∈，
即f(x_n)∈.
易知y_m∈，用导数可求f(y_m)在(－，－1)上递增；在(－1，－)上递减，
∵f(－)＝·(－)³＋＝，
f(－)＝·(－)³＋＝，
∴f(－)<f(－)，
∴f(y_m)∈(f(－)，f(－1)]，
即f(y_m)∈.
∴|f(x_n)－f(y_m)|＝f(y_m)－f(x_n)<－(－)＝.  

略