Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a₂=6，且a_n+1=4a_n-3a_n-1（n≥2），设b_n=a_n+1-a_n，
（1）求证数列{b_n}成等比数列；
（2）求m的值及{c_n}的前n项和．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=4a_n-3a_n-1（n≥2），∴a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1），
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n=3b_n-1（n≥2），
∵b₁=a₂-a₁=2
∴数列{b_n}是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为b_n=2×3^n-1；
（2）解：由（1）知，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=4+2+…+2×3^n-1=3^n-1+3
∵
∴
∵数列{c_n}成等比数列
∴=（n≥2）
∴3q=1
∴q=
∴
∴
∴{c_n}的前n项和为=
分析：（1）利用a_n+1=4a_n-3a_n-1（n≥2），可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1），从而可得数列{b_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=4+2+…+2×3^n-1=3^n-1+3，再利用数列{c_n}成等比数列，可求m的值，从而可求c_n}的前n项和．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，正确运用数列递推式是关键．