Question

函数

⑴ 求证：的图像关于直线y=x对称；

⑵ 函数的图像与函数的图像有且只有一个交点，求实数的值；

⑶ 是否存在圆心在原点的圆与函数的图象有且只有三个交点，如果存在，则求出此圆的半径；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）见解析（2）或（3）见解析

解析:

⑴ 解一：由可知函数图像即为反比例函数的图像经向右平移1个单位后再向上平移1个单位得到。则函数图像关于直线y=x对称…………………………………….….4’

解二：函数的反函数，所以的图像关于直线y=x对称………….4’

⑵ 由题意得有且只有一解。

时，由判别式等于0可得……………………………………3’

时，由图像易得同样满足题意………………………..………………2’

所以……………………………………………..………..…1’

⑶ 解一：由函数图像可得若存在满足题意的圆，则圆与函数的图像必在第一象限相切，即圆过（2，2）点，可得圆半径为，所以存在满足题意的圆，其半径为……....4’

r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 …..2’

解二：由⑴与圆的对称性可得交点必关于直线y=x对称         ……………...…..2’

如果有且仅有三个交点，则必有一个交点在直线y=x上，即这个交点就是函数y=与直线y=x的交点                     ……………………………………….……..…..2’

求得交点有两个（0，0）、（2，2），其中（0，0）不满足题意，而过（2，2）时圆的半径为。r =代回检验得满足题目要求，所以存在满足题意的圆，其半径为 

所以存在满足题意的圆，其半径为                             .…………..2’