Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）．…Pn(an，bn)(n∈N*)都在函数y=1og

1

2

x的图象上．
（1）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和是Sn=1-2-n，过点P_n，P_n+1的值线与两坐标轴所围三角形面积为c_n，求最小的实数t使c_n≤t对n∈N^*恒成立；
（3）若数列{b_n}为由（2）中{a_n}得到的数列，在b_k与b_k+1之间插入3^k-1（k∈N^*）个3，得一新数列{d_n}，问是否存在这样的正整数m，使数列{d_n}的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列{b_n}是等差数列，结合等比数列的定义，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）先确定数列{a_n}的通项公式，再求数列{b_n}的通项公式，进而可得直线方程，由此可求数列{c_n}的通项，利用各项依次单调递减，可求最小的实数t；
（3）求出数列{d_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和，由此可求m的值．

解答：（1）证明：数列{b_n}是等差数列，设公差为d，则b_n+1-b_n=d对n∈N^*恒成立，…（1分）
依题意bn=log

1

2

an，an=(

1

2

)bn，…（2分）
所以

an+1

an

=(

1

2

)bn+1-bn=(

1

2

)d是定值，…（3分）
从而数列{a_n}是等比数列．                                 …（4分）
（2）解：当n=1时，a1=

1

2

，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(

1

2

)n，n=1也适合此式，
即数列{a_n}的通项公式是an=(

1

2

)n．                        …（5分）
由bn=log

1

2

an，可得数列{b_n}的通项公式是b_n=n，…（6分）
所以Pn(

1

2n

，n)，Pn+1(

1

2n+1

，n+1)．
过这两点的直线方程是：

y-n

(n+1)-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

，可得与坐标轴的交点是An(

n+2

2n+1

，0)和B_n（0，n+2）．…（7分）
∴cn=

1

2

×OAn×OBn=

(n+2)2

2n+2

，…（8分）
由于cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

2(n+2)2-(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0…（9分）
即数列{c_n}的各项依次单调递减，所以t≥c1=

9

8

．                 …（10分）
（3）解：数列{d_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

…（11分）
当k=7时，其和是28+

37-3

2

=1120＜2008，…（12分）
当k=8时，其和是36+

38-3

2

=3315＞2008，
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，故存在这样的m，使得S_m=2008，…（13分）
此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．                 …（14分）

点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力．