Question

已经抛物线y²=2px（p＞o）与直线l交于A，B两点，且

OA

•

OB

=0，过原点O作直线AB的垂线OM，垂足为M(3，

3

)．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点Q（a，0）是坐标轴上一点，P为抛物线上任一点，当|QP|最小值等于2

3

时，求P点的坐标及相应a的值．

Answer 1

分析：（1）由OM⊥AB可得KAB=-

3

，直线AB的方程为y-

3

=-

3

(x-3)，联立方程

y=- 3 x+4 3 y2=2px

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，结合方程的根与系数的关系可求P，进而可求抛物线的方程
（2）设P（x，y）则PQ=

(x-a)2+y2

=

x2-(2a-4)x+a2

=

[x-(a-2)]2+4a-4

，根据二次函数的性质可求PQ 的最小值，从而可求a及P．

解答：解：由题意可得直线OM的斜率K=

3

3

，且OM⊥AB
∴KAB=-

3

，直线AB的方程为y-

3

=-

3

(x-3)
联立方程

y=- 3 x+4 3 y2=2px

整理可得3x²-（24+2p）x+48=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁x₂=16，x1+x2=

24+2p

3

∴y1y2=(4

3

-

3

x1)(4

3

-

3

x2)=48-12（x₁+x₂）+3x₁x₂=-8p

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=16-8p=0
∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x
（2）设P（x，y）则PQ=

(x-a)2+y2

=

x2-(2a-4)x+a2

=

[x-(a-2)]2+4a-4

根据二次函数的性质可得当x=a-2时PQmin=

4a-4

=2

3

∴a=4，此时P（2，，2

2

）

点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线方程，注意方程的根与系数关系的应用，还考查了二次函数的最值的求解．