Question

已知直线y=x+b与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点，若OA⊥OB，（O为坐标原点）且S_△AOB=2

5

，求抛物线的方程．

Answer 1

分析：将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理可求得x₁x₂和y₁y₂的关于p的表达式，根据OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得p与b的关系式，
再由S_△AOB=2

5

，从而得到抛物线方程．

解答：解：设A（x₁，y₁ ）、B（x₂，y₂ ）
由

y=x+b y2=2px

得x²-2（p-b）x+b²=0
则x₁+x₂=2（p-b），x1x2=b2 
所以y₁+y₂=2p，y₁y₂=2pb
又因为OA⊥OB，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=-1即

2pb

b2

=

2p

b

=-1
所以p=-

b

2

，所以x₁+x₂=-3b，y₁+y₂=-b，y₁y₂=-b²
又因为S△OAB=2

5

，|AB|=

10

b，原点O到AB的距离d=

|b|

2

所以

1

2

|AB|d=2

5

得b=±2，所以p=±1，
又因为p＞0，所以p=1，y²=2x，
则抛物线的方程为y²=2x．

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，解题时直线与抛物线的联立是关键．