Question

沿着正四面体OABC的三条棱

OA

、

OB

、

OC

的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

Answer 1

分析：要求试求此三个力的合力的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．我们要结合向量模的求法及向量夹角的求法，由于本题中没有坐标，故求向量的模时，我们可以利用向量模的平方等于向量的平方来处理，而要注夹角的余弦值，则可以根据夹角公式，求出两个向量的数量积再除以两个向量的模即可求解．

解答：解：用

a

、

b

、

c

分别代表棱

OA

、

OB

、

OC

上的三个单位向量，则

f

₁=

a

，

f

₂=2

b

，

f

₃=3

c

，则

f

=

f

₁+

f

₂+

f

₃=

a

+2

b

+3

c

，
∴|

f

|²=（

a

+2

b

+3

c

）•（

a

+2

b

+3

c

）
=|

a

|²+4|

b

|²+9|

c

|²+4

a

•

b

+6

a

•

c

+12

b

•

c

=1+4+9+4|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞+6|

a

||

c

|cos＜

a

，

c

＞+12|

b

||

c

|cos＜

b

，

c

＞
=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°
=14+2+3+6=25．
∴|

f

|=5，即所求合力的大小为5，
且cos＜

f

，

a

＞=

f • a

| f |•| a |

=

| a |2+2 a • b +3 a • c

5

=

1+1+ 3 2

5

=

7

10

．
同理，可得cos＜

f

，

b

＞=

4

5

，cos＜

f

，

c

＞=

9

10

．

点评：若θ为

a

与

b

的夹角，则cosθ=

a • b

| a |•| b |

，这是利用向量求角的唯一方法，要求大家熟练掌握．