Question

9．函数f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x，下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0）
• B． 函数f（x）图象的一个对称轴为x=-$\frac{π}{6}$
• C． 函数f（x）图象的一个减区间为（-1，$\frac{1}{2}$）
• D． 函数f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]上的最大值为$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的图象和性质即可逐一判断各个选项得解．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故A不正确；
当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=2sin（2×-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=-1，故B不正确；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间为：[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，可得C不正确；
当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，故D正确．
故选：D．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．