Question

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

Answer 1

解：（1）证明：令x=y=0，得f（0）=0
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数…（6分）
（2）解：对任取实数x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，这时，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁）
因为x＞0时f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在[-9，9]上是减函数
故f（x）的最大值为f（-9），最小值为f（9）
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12
∴f（x）在区间[-9，9]上的最大值为12，最小值为-12 …（12分）
分析：（1）判断f（x）奇偶性，即找出f（-x）与f（x）之间的关系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故问题转化为求f（0）即可，可对x、y都赋值为0；
（2）先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，充分利用条件当x＞0时，有f（x）＜0与f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定单调性，最后利用函数的单调性求出在区间[-9，9]上，y=f（x）的最值即可．
点评：本题考点是抽象函数及其性质，在研究其奇偶性时本题采取了连续赋值的技巧，这是判断抽象函数性质时常用的一种探究的方式，属于中档题．